Большая советская энциклопедия - компактность
Компактность
компактность
Компактность (математическое), важное свойство множеств; множество называется компактным, если каждая бесконечная последовательность его элементов (точек) имеет хотя бы одну предельную точку. От К. по отношению к объемлющему пространству отличают К. в себе: множество (лежащее в определенном топологическом пространстве или являющееся само топологическим пространством) компактно в себе, если каждая бесконечная последовательность его элементов имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую тому же множеству. В математическом анализе большое значение имеет принцип Вейерштрасса, утверждающий, что каждое ограниченное множество действительных чисел — компактно. Компактные множества функций играют фундаментальную роль в теории функций и функциональном анализе. Для того чтобы множество Е непрерывных (например, на сегменте ,1 числовой прямой) функций было компактно (в пространстве С всех непрерывных на ,1 функций), необходимо и достаточно, чтобы функции множества Е были ограничены в своей совокупности (одной и той же постоянной) и равностепенно непрерывны (см. Равностепенная непрерывность). Компактное метрическое пространство называется компактом. Среди множеств, лежащих в евклидовых пространствах E n произвольного числа измерений, компактны в E n все ограниченные множества и только они; компактами (то есть компактными в себе множествами) среди них будут лишь замкнутые (и ограниченные) множества. В гильбертовом пространстве ограниченность недостаточна для компактности: сфера в гильбертовом пространстве некомпактна, хотя образует замкнутое и ограниченное множество. Компактом является так называемый фундаментальный параллелепипед гильбертова пространства, то есть множество всех точек этого пространства, координаты которых удовлетворяют условиям 0? xn? 1/2n. Все компакты (и среди всех топологических пространств только компакты) гомеоморфны (см. Гомеоморфизм) замкнутым множествам фундаментального параллелепипеда гильбертова пространства (теорема Урысона). Компакты конечной размерности и только они гомеоморфны замкнутым ограниченным множествам евклидовых пространств. Для метрических пространств, а также для топологических пространств со счетной базой свойство К. (в себе) эквивалентно свойству бикомпактности. Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. —Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. — Л., 1937.
Рейтинг статьи:
Комментарии:
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Ссылка для сайта или блога:
Ссылка для форума (bb-код):
Самые популярные термины
1 | 4927 | |
2 | 3046 | |
3 | 3017 | |
4 | 2845 | |
5 | 2838 | |
6 | 2802 | |
7 | 2741 | |
8 | 2724 | |
9 | 2611 | |
10 | 2535 | |
11 | 2358 | |
12 | 2234 | |
13 | 2190 | |
14 | 2187 | |
15 | 2158 | |
16 | 2075 | |
17 | 2067 | |
18 | 2051 | |
19 | 2038 | |
20 | 1992 |